APLICAÇÃO DAS REGRAS DE SIMPSON DE INTEGRAÇÃO NUMÉRICA NA DETERMINAÇÃO DO PERÍODO DE UM PÊNDULO CIRCULAR

 

Sandro Lúcio dos Santos¹

Adriéli Aparecida Rodrigues ²

 

RESUMO

 

A integração numérica possui um papel fundamental na resolução de muitos problemas. Aparecem como alternativas na determinação de resultados, onde os mesmos não podem ser obtidos através de métodos analíticos. Dentre alguns destes métodos numéricos de integração destacam-se as aproximações de Simpson por meio de polinômios interpolativos do 2º e 4º grau. Este trabalho tem como objetivo determinar o período de um pêndulo circular em movimento harmônico simples através de aproximações com os métodos de Simpson, analisando a convergência das soluções. Para tanto, valeu-se do método de revisão bibliográfica à luz de estudos de autores como JÚNIOR e LAIER (2005), RABBI e FERRACIOLI e SILVA e MAGALHÃES (2002).

Palavras-Chave: Integração Numérica. Método de Simpson. Pêndulo Circular.

 

ABSTRACT

Numerical integration plays a key role in solving many problems. They appear as alternatives in the determination of results, where they can not be obtained through analytical methods. Some of these numerical integration methods include Simpson's approximations by means of interpolative polynomials of the 2nd and 4th grades. This work aims to determine the period of a circular pendulum in simple harmonic motion through approximations with the methods of Simpson, analyzing the convergence of the solutions. For this, it was used the method of bibliographical revision in light of studies of authors like Júnior and Laier (2005), RABBI and FERRACIOLI and SILVA and MAGALHÃES (2002).

Keywords: Numerical Integration. Simpson Method. Circular pendulum.

 

Introdução

 

Nos conceitos do cálculo, a idéia de integral de uma função foi desenvolvida originalmente para se determinar a área sob uma curva. Esta idéia também surge naturalmente em muitos outros problemas da Física, como por exemplo na determinação das posições de um objeto em uma trajetória, conhecendo-se suas respectivas velocidades instantaneas.

O processo para o cálculo da integral de uma função é chamado de integração. A integral pode ser conceituada de varias maneiras, todas elas visando a solução de alguns problemas conceituais relacionados a limites, continuidades e cálculo de aréas de regiões curvas. A definição de Integral segundo STEWART (2006) encontra-se no quadro abaixo.

 

Se f é uma função contínua definida em um intervalo [a,b], dividimos este intervalo em n subintervalos de comprimentos iguais Seja x₀ (= a), x₁, x₂, ... , x_n (= b) os extremos desses subintervalos e vamos escolher pontos amostrais nesses subintervalos de tal forma que está no i-ésimo subintervalo . Então a integral definida de f é .

 

Da notação utilizada, f(x) é chamado de integrando, a e b são chamados de limites de integração em que a é o limite inferior e b é o limite superior do intervalo. Observa-se a soma , que ocorre na definição é chamada de soma de Riemanm. A Figura 1 ilustra de forma geométrica a idéia do cálculo da integral de uma função.

Figura 1: Interpretação geométrica da soma de Riemanm.

 

Note que se a soma de Riemanm é a soma das áreas dos retângulos e a integral é a área sob a curva , como ilustra a Figura 2.

Figura 2: Área sob a curva y = f(x).

 

Entretanto, em alguns casos o valor da integral de f(x) não pode ser obtido através de métodos analíticos convencionais. Nestes casos para calcular o valor destas integrais se torna necessário a utilização dos métodos numéricos de integração.

Este trabalho tem como objetivo apresentar e aplicar as técnicas de Simpson na determinação do período de um pêndulo em movimento harmônico simples, com o intuito de se verificar a eficiência de ambos os métodos. Para tanto, valeu-se do método de revisão bibliográfica à luz de estudos de teóricos como JÚNIOR e LAIER (2005), RABBI e FERRACIOLI e SILVA e MAGALHÃES (2002).

 

Desenvolvimento

 

Inicialmente convém ressaltar que os métodos mais convencionais para o calculo da integral aproximada, referem-se a quadraturas da área a baixo da curva de f(x). Geometricamente esses métodos dividem o intervalo de integração em retângulos ou trapézios, e aproximam a integral de f(x) através do valor da soma da área dessas figuras geométricas. Quando o intervalo de integração for dividido por retângulos temos três diferentes modos de calcular a integral aproximada, através do extremo inferior, extremo superior e pelo ponto médio de cada um desses retângulos. De maneira análoga quando temos o intervalo de integração dividido em figuras geométricas iguais a um trapézio, temos a chamada “Regra dos Trapézios” que aproxima pequenos trechos da curva y = f(x) por segmentos de reta, e a aproximação para a integral de f(x) no intervalo de integração é dada pela soma das áreas dos trapézios obtidos pela união de cada segmento de reta com o eixo x.

As Figuras 3 e 4 ilustram respectivamente o cálculo aproximado da área de uma função f(x) pela regra do ponto médio e pela Regra do Trapézio.

Figura 3: Aproximação da integral de f(x) através da regra do ponto médio.

 

Figura 4: Aproximação da integral de f(x) através de n trapézios.

 

Note que na Figura 4, a região entre f(x) e o eixo x no intervalo [a, b] é aproximada pelos trapézios, onde a área de cada trapézio é dada pelo comprimento de sua “altura” horizontal vezes a média de suas “bases” verticais. De uma maneira geral, podemos dizer que a aproximação para através da Regra dos Trapézios é dada por:

Note que os “y” são os valores de f nos pontos de divisão dos trapézios, enquanto no eixo x temos: , , , ..., , , onde .

Outras formas de Integração Numérica podem ser encontradas nos trabalhos de JÚNIOR e LAIER (2005), RABBI e FERRACIOLI e SILVA e MAGALHÃES (2002).

Neste trabalho são utilizadas aproximações que se diferenciam das convencionais. O cálculo aproximado da integral é realizado pela substituição de f(x) por polinômios interpolativos do 2º e 4º graus onde a convergência é mais rápida e mais eficiente que as aproximações convencionais que aproximam f(x) por meio de figuras geométricas.

 

Cálculo aproximado da integral com o uso de um polinômio interpolativo do 2º grau

 

As aproximações que utilizam a idéia das somas de Riemann como a Regra do Trapézio fornecem aproximações razoáveis para a integral de uma função contínua em um intervalo fechado. A Regra do Trapézio é mais eficiente, fornecendo uma aproximação melhor para pequenos valores de n, o que a torna um algoritmo mais rápido para integrações numéricas.

Na verdade, a única desvantagem da Regra do Trapézio é que ela depende de segmentos de retas para fazer aproximações para arcos curvos. É em cima dessa falha que apresentamos as aproximações através de polinômios interpolativos do 2º e 4º grau, também chamados de Regra de Simpson.

A Regra de Simpson consiste em fazer aproximações para f(x) com polinômios interpolativos em vez de segmentos de retas. Primeiramente utilizamos um polinômio interpolativo do 2º grau, logo nas aproximações de pequenos trechos de curvas serão utilizados arcos de parábolas.

A Regra de Simpson resulta da partição do intervalo [a, b] em um número par de subintervalos de comprimento h, onde, em cada par consecutivo de intervalos aproxima-se a curva y = f(x) por uma parábola como mostra a figura 5.

Figura 5: Função interpolativa do segundo grau.

As condições de contorno para a determinação da função interpolativa (ver figura 5) são:

Sabe-se que a equação da parábola que passa por P₀, P₁ e P₂ tem a forma , e assim a área sob a parábola de até é:

=

=

Mas, como a parábola passa por , e , temos

,

e portanto devido a isso podemos reescrever a área sob a parábola como .

Quando o número de arcos de parábolas que aproximam a área sob f(x) for igual a n, calcula-se a área sob todas as n parábolas dessa mesma forma, adicionando os resultados têm-se;

Portanto a integral aproximada de f(x) pela Regra de Simpson através de um polinômio interpolativo do 2º grau é dada por:

onde n é par e .

 

Cálculo aproximado da integral com o uso de um polinômio interpolativo do 4º grau

 

De maneira análoga ao método anterior desenvolve-se Regra de Simpson com polinômios interpolativos do 4º grau, que também utiliza a idéia de aproximar f(x) por um polinômio interpolador, assim como ilustra a figura 6.

Figura 6: Função interpolativa do quarto grau.

Para o desenvolvimento desse método utiliza-se um polinômio do 4º grau do tipo , com seguintes condições de contorno:

Aplicando essas condições ao polinômio interpolador temos o seguinte sistema.

Resolvendo o sistema de equações lineares acima encontra-se o seguinte polinômio interpolador:

O polinômio interpola f(x) passando pelas condições de contorno estabelecidas anteriormente. Então a área sob f(x) é aproximadamente igual à área sob o polinômio . Logo a área aproximada de f(x) é dada por , ou seja:

 

Problema Modelo

 

O problema proposto a ser resolvido com o uso das técnicas de Simpson aqui apresentadas trata-se do cálculo do período de um pêndulo circular em movimento harmônico simples (mhs), assim como ilustra a figura 7.

Figura 7: Pêndulo circular em MHS.

Em que: L é o comprimento da barra e é o ângulo máximo com a vertical. Usando a Segunda Lei de Newton pode ser mostrado que o período T (tempo para um ciclo completo) é expresso por:

onde e g é a aceleração da gravidade. Para a análise do problema modelo, são definidos os seguintes valores para as constantes: L = 1m, e . A figura 8 ilustra graficamente o comportamento da função

do integrando da equação do cálculo do período.

Figura 7: Gráfico da função H(x).

 

O cálculo do período do pêndulo só pode ser obtido mediante a aplicação de técnicas numéricas de integração.

 

Resolução do Problema Modelo

 

Para a determinação do período do pêndulo foi-se desenvolvido um programa na linguagem Mathcad, versão 2000, contemplando as duas técnicas de Simpson aqui desenvolvidas.

A figura 8 apresenta a seqüência de valores obtidos para ambas as aproximações por Simpson relacionadas aos respectivos números de partições do intervalo , em que S₁ é a seqüência de aproximações gerada com o uso do polinômio interpolador de grau 2 e S₂ é a seqüência de aproximações gerada pelo uso do polinômio interpolador do 4^o grau.

Figura 8: Valores aproximados do cálculo do período do pêndulo.

O valor encontrado para o período do pêndulo em mhs com oito casas decimais foi 2,05637114 s (segundos).

 

Conclusão

 

Ambas as técnicas de integração aqui apresentadas mostraram-se eficientes na determinação do período do pêndulo em movimento harmônico simples.

Para que a aproximação de Simpson com o uso do polinômio interpolador de grau 2 atingisse a mesma precisão do polinômio interpolativo de grau 4 foram necessárias 26 partições do intervalo.

Para outros problemas relacionados ao calculo do valor da integral de f(x) que não podem ser obtido através de métodos analíticos convencionais, o método aqui apresentado pode ser utilizado, más deve-se sempre comparar esse método com outros existentes, a fim de se verificar qual se mostra mais eficiente.

 

Referências

 

JÚNIOR, A. C. M.; LAIER, J. E. Cadernos de Engenharia de Estruturas. São Carlos, v. 7, n. 27, p. 121-143, 2005.

 

RABBI, M.; FERRACIOLI, L. O Estudo de Métodos Numéricos de Integração Através da Modelagem Computacional Quantitativa. Trabalho parcialmente financiado pelo CNPq, CAPES e pelo FACITEC - Laboratório de Tecnologias Interativas Aplicadas à Modelagem Cognitiva. Departamento de Física, UFES.

 

SILVA, S. F.; MAGALHÃES, K. A. Ferramenta de Integração Numérica: Quadratura de Gauss. Revista Traços, v.5, n. 9, pág. 71-74, 2002.

 

STEWART, James. Cálculo. 5º ed. v.1. São Paulo: Thomson Learning, 2006.